地磁场可以减少宇宙射线中的带电粒子对地球上生物体的危害．研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场．如图，模拟地球半径为R，地球赤道平面附近的地磁场简化为赤道上方厚度为2R、

Question

地磁场可以减少宇宙射线中的带电粒子对地球上生物体的危害．研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场．如图，模拟地球半径为R，地球赤道平面附近的地磁场简化为赤道上方厚度为2R、磁场感应度强度大小为B、方向垂直于赤道平面的匀强磁场．磁场边缘A处有一粒子源，可在赤道平面内以不同速度向各个方向射入某种带正电粒子．研究发现，当粒子速度为2v时，沿径向方向射入磁场的粒子恰不能到达模拟地球．不计粒子重力及大气对粒子运动的影响，且不考虑相对论效应．

（1）请画出速度为2v、沿径向方向射入磁场的粒子轨迹，并求此粒子的比荷（(q)/(m)）；
若该种粒子的速度为v，则这种粒子到达模拟地球的最短时间是多少？
（3）试求速度为2v的粒子到达地球粒子数与进入地磁场粒子数总数比值η．（结果用反三角函数表示．例：sinθ=k，则θ=arcsink，θ为弧度．）

Answer 1

（1）其轨迹如图1所示（和地球相切）
设该粒子轨迹半径为r，则根据几何关系：（r+R）²=r²+（3R）²    ①
解得r=4R    ②
又q•(2v)B=m((2v)2)/(r)    ③
由②③得，(q)/(m)=(v)/(2BR)   ④
（2）速度为v的粒子进入磁场有：qvB=m(v2)/(r′)   ⑤
由④⑤得，r′=2R   ⑥
若要时间最短，则粒子在磁场中运动的弧长最短，故从A斜向上射入，在A交点E到达地球的弦长最短时间最短．
AE=AD=DE=2R，
故∠ADE=60°，
得：tmin=(60°)/(360°)(2πm)/(qB)=(2πR)/(3v)．
（3）沿径向方向射入的粒子会和地球相切而出，和AO方向成θ角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此θ角范围内的粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球．
作A点该速度垂直和过切点与O点连线延长线交于F点，则F点为圆心，如图3．
AF=4R，AO=OF=3R，得sinθ=(AG)/(AO)=(2)/(3)，
故η=(θ)/(π)=(arcsin(2)/(3))/(π)．
答：（1）此粒子的比荷为(v)/(2BR)；
（2）这种粒子到达模拟地球的最短时间是(2πR)/(3v)；
（3）速度为2v的粒子到达地球粒子数与进入地磁场粒子数总数比值η为(arcsin(2)/(3))/(π)．