某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20

Question

某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入 40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多 80 万元，同时，当预计投入的资金低于 20 万元时，就按 20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等．
（Ⅰ）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；
（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）

Answer 1

（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为a_n万元，b_n万元，
依题意得，当投入的资金不低于20万元，即a_n≥20，a_n=(1)/(2)a_n+1b_n=b_n+1+80，n≥2，
此时{a_n}是首项为1000，公比为(1)/(2)的等比数列，
{b_n}是首项为40，公差为80的等差数列，
所以a_n=1000×（(1)/(2)）^n-1，b_n=80n-40，
令a_n<20，得2^n-1>50，解得n≥7
所以a_n=

1000×((1)/(2))n-1，1≤n≤6

20，n≥7

，bn=

80n-40，1≤n≤6

440，n≥7

（Ⅱ）S_n=(n[40+(80n-40)])/(2)-(1000×[1-((1)/(2))n])/(1-(1)/(2))=2000×（(1)/(2)）ⁿ+40n²-2000，
所以S_n-S_n-1=-2000×（(1)/(2)）ⁿ+80n-40，n≥2，
因为f（x）=-2000×（(1)/(2)）^x+80x-40为增函数，f（3）<0，f（4）<0，
所以当2≤n≤3时，S_n+1>S_n，当4≤n≤6时，S_n+1<S_n，
又因为S₁<0，S₆=-528.75<0，
所以1≤n≤6，S_n<0，即前6年未盈利，
当n≥7，S_n=S₆+（b₇-a₇）+（b₈-a₈）+…+（b_n-a_n）=-528.75+420（n-6），
令S_n>0，得n≥8
综上，预计公司从第8年起开始盈利．