某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元

Question

某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为 Q=(3x+1)/(x+1) (x≥0) ．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）．
（1）试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？并求出该最大值．

Answer 1

（1）由题意，∵生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和
∴W

=0.5×(3+32Q)-0.5x

= (16(3x+1))/(x+1) -0.5x+1.5(x≥ 0）（3分）
（2）令x+1=t（t≥1），则 W=50-((32)/(t) +(t)/(2) )≤50-2

16

=42 ．-----（2分）
当且仅当t=8，即x=7时取最大值42万元．-----（2分）
答：当广告投入7万元时，企业的最大利润为42万元．-----（1分）