从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．本年度当地旅游业收入估计为400万元，

Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少(1)/(5)．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加(1)/(4)．
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元．写出a_n，b_n的表达式；
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1-(1)/(5)）万元，第n年投入为800×（1-(1)/(5)）^n-1万元．
所以，n年内的总投入为
a_n=800+800×（1-(1)/(5)）+…+800×（1-(1)/(5)）^n-1=

n

k＝1

800×(1−(1)/(5))k−1
=4000×[1-（(4)/(5)）ⁿ]；（3分）
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+(1)/(4)）万元，
第n年旅游业收入为400×（1+(1)/(4)）^n-1万元．
所以，n年内的旅游业总收入为
b_n=400+400×（1+(1)/(4)）+…+400×（1+(1)/(4)）^n-1=

n

k＝1

400×((5)/(4))k−1
=1600×[（(5)/(4)）ⁿ-1]．（6分）
（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
b_n-a_n＞0，
即1600×[（(5)/(4)）ⁿ-1]-4000×[1-（(4)/(5)）ⁿ]＞0．
化简得5×（(4)/(5)）ⁿ+2×（(5)/(4)）ⁿ-7＞0，（9分）
设x=（(4)/(5)）ⁿ，代入上式得
5x²-7x+2＞0，
解此不等式，得x＜(2)/(5)，x＞1（舍去）．
即（(4)/(5)）ⁿ＜(2)/(5)，
由此得n≥5．
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．（12分）