特征向量与特征值1、A,B可换,且A有n个互异的特征值,求证A的特征向量也都是B的特征向量2、求证：任意两个n阶矩阵A和B,AB和BA有相同的特征多项式,若AB=BA,则A和B至少有一个公共的特征向量

Question

特征向量与特征值
1、A,B可换,且A有n个互异的特征值,求证A的特征向量也都是B的特征向量
2、求证：任意两个n阶矩阵A和B,AB和BA有相同的特征多项式,若AB=BA,则A和B至少有一个公共的特征向量

Answer 1

好麻烦 我来答一个吧因为A有n个相异特征值,所以A可对角化即存在可逆矩阵P,P^-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)由AB=BA得 (P^-1AP)(P^-1BP)=(P^-1BP)(P^-1AP)所以有 diag(λ1,λ2,...,λn)(P^-1BP)=(P^-1BP)diag(λ1,λ2,.....