如图为某种鱼饵自动投放器放在足够大水塘中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固

Question

如图为某种鱼饵自动投放器放在足够大水塘中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．如果质量为m的鱼饵到达管口C时，对上侧管壁的弹力恰好为mg．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g、求：

（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小V_C；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p；
（3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线00′在360°角的范围内缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在(1)/(2)m到(7)/(6)m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少．

Answer 1

（1）由题意知，在C点，根据牛顿第二定律得：FN+mg=m(v2c)/(R)，F_N=mg，
解得：vc=√(2gR)；
（2）从出发到C点的过程中，根据能量守恒：Ep=(5)/(2)mgR+(1)/(2)m

v

2 c

=(7)/(2)mgR，
（3）当鱼饵的质量为(m)/(2)时，根据能量守恒(7)/(2)mgR=(5)/(2)•(1)/(2)mgR+(1)/(2)•(1)/(2)m

v

2 c1

，
解得：vc1=√(9gR)，
鱼饵做平抛运动，h=4.5h=(1)/(2)gt2，
解得水平位移x₁=v_c1t=9R；
当鱼饵的质量为(7)/(6)m时，同理解得：鱼饵到C点速度：vc2=√(gR)，水平位移x₂=v_c2t=3R，
鱼饵的落点区域为圆环形状，r₁=10R，r₂=4R，环形面积s=π(

r

2 1

-

r

2 2

)=84πR2
答：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小为√(2gR)；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能为(7)/(2)mgR；
（3）鱼饵能够落到水面的最大面积S是84πR²．