直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，∠BAO=60°，AC平分∠BAO交y轴于点C，若AC=8．（1）求点B的坐标．（2）动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AC运动，过P作PH⊥y轴，垂足为H

Question

直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，∠BAO=60°，AC平分∠BAO交y轴于点C，若AC=8．

（1）求点B的坐标．
（2）动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AC运动，过P作PH⊥y轴，垂足为H．设运动时间为t秒，用含t的关系式表示线段CH的长，并写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当OH=2CH时，求出t的值．此时在第一象限内是否存在一点M，使△CHM是等腰直角三角形．如果存在，请直接写出M的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵∠BAO=60°，AC平分∠BAO，
∴∠OAC=∠BAC=∠ABO=30°，
∴OC=(1)/(2)AC=4，BC=AC=8，
∴OB=OC+BC=12，
∴点B的坐标为（0，12）；
（2）∵PH⊥y轴，
∴PH∥OA，
∴△CPH∽△CAO，
∴(PH)/(AO)=(CP)/(CA)，即(PH)/(4√(3))=(8-2t)/(8)，
解得，PH=4√(3)-t（0≤t≤4）；
（3）∵OH=2CH，
∴CH=(4)/(3)，
当∠MCH=90°，CH=CM=(4)/(3)时，点M的坐标为（(4)/(3)，4），
当∠CHM=90°，CH=HM=(4)/(3)时，点M的坐标为（(4)/(3)，(8)/(3)），
当∠CMH=90°，CM=HM时，点M在CH的垂直平分线上，
点M的坐标为（(2)/(3)，(10)/(3)）．