若函数f(x)的定义域都是(a,b),则称(a,b)为f(x)的保值区间,求f(x)=1|2(X-1)2+1的保值区间

Question

若函数f(x)的定义域都是(a,b),则称(a,b)为f(x)的保值区间,求f(x)=1|2(X-1)2+1的保值区间

Answer 1

设函数的定义域为[a,b],函数的对称轴x=1
当b≤1时,函数在[a,b]上单调递减,若值域是[a,b],则
f(a)＝b
f(b)＝a
⇒
1 /2 a2 +3 /2 − a＝b
1 /2 b2 −b+3 /2 ＝a
此时a,b无解
当a≥1时,函数在[a,b]上单调递增,若值域是[a,b],则
f(a)＝a
f(b)＝b
⇒
1/ 2 a2−a+3 / 2 ＝a
1 / 2 b2−b+3 / 2 ＝b
此时a=1,b=3
,函数在[a,b]上先减后增,若值域是[a,b],而此时函数的最小值为1,则有a=1（舍）
综上可得a=1,b=3
故答案为：[1,3]