求函数Y=X+√1－2X的值域答案不是Y≤1用换元法

Question

求函数Y=X+√1－2X的值域
答案不是Y≤1
用换元法

Answer 1

方法一:利用换元法和图象法.
令√1-2x=t,t>=0.可得x=(1-t^2)/2
所以y=(1-t^2)/2+t=-(1/2)*(t-1)^2+1
画出其图象为开口向下,最高点为(1,1)的一条抛物线.由此可得函数的值域为(—∞,1].
方法二:
求出函数定义域(—∞,1/2]
任给x∈(—∞,1/2],则有x ≤1/2，则1—2x≥0, 1—x≥x,
那么，当x∈(—∞,0)，1—x>1>0; 当x∈[0, 1/2]，1—x≥x>0.
就是说，任给x∈(—∞,1/2]，都有1—x>0
而且 显然有x^2≥0，从而x^2—2x+1≥—2x+1，也就是 (x—1)^2≥1—2x
前已经求得1—x>0，1—2x≥0，所以上式开方，就得到
1—x ≥√(1—2x)
上式恒等变形,就得到√(1—2x)+x≤1，即是f(x)=√(1—2x)+x ≤1.