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如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.(I)证明:AC⊥B1D;(II)求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
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如图,在直棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,AD ∥ BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA 1 =3. (I)证明:AC⊥B 1 D; (II)求直线B 1 C 1 与平面ACD 1 所成的角的正弦值. |
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答案和解析
(I)∵BB 1 ⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB 1 , 又∵AC⊥BD,BB 1 、BD是平面BB 1 D内的相交直线 ∴AC⊥平面BB 1 D, ∵B 1 D⊂平面BB 1 D,∴AC⊥B 1 D; (II)∵AD ∥ BC,B 1 C 1 ∥ BC,∴AD ∥ B 1 C 1 , 由此可得直线B 1 C 1 与平面ACD 1 所成的角,等于直线AD与平面ACD 1 所成的角(记为θ) 连接A 1 D, ∵直棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,∠BAD=∠B 1 A 1 D 1 =90°, ∴B 1 A 1 ⊥平面A 1 D 1 DA,结合AD 1 ⊂平面A 1 D 1 DA,得B 1 A 1 ⊥AD 1 又∵AD=AA 1 =3,∴四边形A 1 D 1 DA是正方形,可得AD 1 ⊥A 1 D ∵B 1 A 1 、A 1 D是平面A 1 B 1 D内的相交直线,∴AD 1 ⊥平面A 1 B 1 D,可得AD 1 ⊥B 1 D, 由(I)知AC⊥B 1 D,结合AD 1 ∩AC=A可得B 1 D⊥平面ACD,从而得到∠ADB 1 =90°-θ, ∵在直角梯形ABCD中,AC⊥BD,∴∠BAC=∠ADB,从而得到Rt△ABC ∽ Rt△DAB 因此,
连接AB 1 ,可得△AB 1 D是直角三角形, ∴B 1 D 2 =B 1 B 2 +BD 2 =B 1 B 2 +AB 2 +BD 2 =21,B 1 D=
在Rt△AB 1 D中,cos∠ADB 1 =
即cos(90°-θ)=sinθ=
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