已知双曲线的方程为X^2/4-Y^2=1,直线L通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦点连结起来,求|F1A|*|F1B|的最小值?

Question

已知双曲线的方程为X^2/4-Y^2=1,直线L通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦点连结起来,求|F1A|*|F1B|的最小值?

Answer 1

该题中,a=2,b=1,c=√5,e=√5/2
设A(x1,y1）,B（x2,y2）
由焦半径公式得|F1A|=a+ex1.|F1B|=a+ex2
则|F1A|*|F2B|=（a+ex1)(a+ex2)=a²+ae（x1+x2）+e²x1x2
=4+（√5）（x1+x2）+（5/4）x1x2
设过L的直线为y=kx+b,由于直线过（√5,0）,故b=-√5k
联立直线和椭圆的方程,化简得到：
x²（1-4k²）-8kbx-4b²-4=0
x1+x2=8kb/(1-4k²）
x1x2=(-4b²-4)/(1-4k²）
联立以下方程：
b=-√5k
x1+x2=8kb/(1-4k²）
x1x2=(-4b²-4)/(1-4k²）
|F1A|*|F1B|=4+（√5）（x1+x2）+（5/4）x1x2
化简整理得：
|F1A|*|F1B|=[（65k²+5）/（4k²-1）]+4
=(65/4)+[85/(16k²-4)]+4
=(65/4)+[85/(16k²-4)]+4
=(81/4)+[85/(16k²-4)]
设85/(16k²-4)=t
则t∈（0,+∞）
故当k存在时,|F1A|*|F1B|∈（81/4,+∞）
而当k值不存在时
AB⊥x轴,x1=x2=c
|F1A|=|F1B|=a+ec=2+(5/2)=9/2
|F1A|*|F1B|=81/4
综上所述,当AB与x轴垂直的时候,|F1A|*|F1B|取得最小值81/4
终于做完了.多谢你的提醒~我太粗心了,