若原点O和点F（-2，0）分别为双曲线x2a2-y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求OP•FP的取值范围．

Question

若原点O和点F（-2，0）分别为双曲线(x2)/(a2)-y²=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求

OP

•

FP

的取值范围．

Answer 1

设P（m，n），则

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²．
∵F（-2，0）分别是双曲线(x2)/(a2)-y²=1（a＞0）的左焦点，
∴a²+1=4，∴a²=3，
∴双曲线方程为(x2)/(3)−y2＝1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴(m2)/(3)−n2＝1(m≥√(3))，
∴n²=(m2)/(3)-1，
∵

OP

•

FP

=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²，
∴m²+2m+n²=m²+2m+(m2)/(3)-1=(4)/(3)m2+2m−1
∵m≥

作业帮用户 2017-10-31 举报

问题解析

先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示

OP

•

FP

，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得

OP

•

FP

的取值范围．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．

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