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设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标保持不变的伸缩变换.(Ⅰ)求矩阵M;(Ⅱ)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
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设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标保持不变的伸缩变换. (Ⅰ)求矩阵M; (Ⅱ)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由条件得矩阵 (Ⅱ) 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量, 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量. |
(1)易求 . (2)由矩阵M,可知其特征多项式为 ,然后利用 ,可解出 的特征值,有两个值,然后分别求其特征向量即可 (Ⅱ)因为矩阵 的特征多项式为 , 令 ,解得特征值为 , , 设属于特征值 的矩阵M的一个特征向量为 ,则 ,解得 ,取 ,得 , 同理,对于特征值 ,解得 ,取 ,得 , 6分 所以 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量, 是矩阵M属于特征值 的一个特征向量. |
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