关于QR分解和投影矩阵不明白的地方对于矩阵A=[a1,a2],a1,a2是列,做QR分解根据公式：b1=a1b2=a2-(/)b1得到b1b2是垂直的两列,其中(/)b1是a2在b1上的投影.但是,根据投影矩阵的定义,a2在b1上的投影

Question

关于QR分解和投影矩阵不明白的地方
对于矩阵A=[a1,a2],a1,a2是列,做QR分解
根据公式：
b1=a1
b2 = a2 - (/) b1
得到b1 b2是垂直的两列,其中 (/) b1 是a2在b1上的投影.
但是,根据投影矩阵的定义,a2在b1上的投影应该是b1(b1^T b1)^-1 b^T a2
这两个式子求出来的投影可以证明是相等的吗?

Answer 1

当然是一回事
注意可以写成y^Tx或者x^Ty,在实数域上这两种写法一样
另外,对于向量数乘 t*b,按照矩阵乘法规则来写更好的写法是b*t
所以
(/) b1 = b1 ( b1^T a2 / (b1^T b1) ) = b1 (b1^T b1)^{-1} b1^T a2