对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经

Question

对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息），在甲提供的材料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图；③每月需各种开支2000元．
（1）为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为多少？
（2）当商品的价格每件多少元时，月利润和除职工最低生活费的余额最大并求出最大值．
（3）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

Answer 1

（1）根据图象，当14≤P≤20时，
设Q=kP+b，把（14，22），（20，10）代入，得

14k+b＝22

20k+b＝10

，
解得

k＝−2

b＝50

，
则Q=-2P+50；
当20≤P≤26时，
设Q=mP+n，把（20，10），（26，1）代入，得

20m+n＝10

26m+n＝1

，
解得

m＝−1.5

n＝40

，
则Q=-1.5P+40，
即Q=

−2P+50(14≤P≤20)

−1.5P+40(20＜P≤26)

，
若商品的价格应定为P元时，该店刚好能够维持职工生活，
则有100（P-14）Q=3600+2000，分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即100（P-14）（-2P+50）=5600，解得P₁=18，P₂=21（不合题意，舍去）；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）=5600，解得P₁=22，P₂=(56)/(3)（不合题意，舍去）．
答：为使该店刚好能够维持职工生活，商品的价格应定为18元或22元．

（2）设月利润和除职工最低生活费的余额为L，则L=100（P-14）Q-2000．分两种情况：
第一种：当14≤P≤20时，即L=100（P-14）（-2P+50）-3600=-200P²+7800P-72000，
则当P=(−7800)/(2×(−200))=19.5时，L有最大值，
此时L=(4×(−200)×(−7200)−7800×7800)/(4×(−200))-3600=4050=4050；
第二种：当20≤P≤26时，即100（P-14）（-1.5P+40）-2000=-150P²+6100P-58000，
则当P=(−6100)/(2×(−150))=(61)/(3)时，L有最大值，
此时L=(4×(−150)×(−58000)−6100×6100)/(4×(−150))-3600=4016(2)/(3)-2000=2016(2)/(3)．
因为4050＞2016(2)/(3)，
所以当P=19.5元时，月利润最大，为4050元．

（3）设可在n年后脱贫，由题意有
12n（4050-3600）≥50000+58000，
解得n≥20，即最早在20年后脱贫．