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(2013•路北区三模)如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的
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![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/6c224f4a20a446239a4935d39b22720e0df3d784.jpg)
(1)求x为何值时,PQ⊥AC;
(2)设△PQD的面积为y(cm2),当0<x<2时,求y与x的函数关系式;
(3)当0<x<2时,求证:AD平分△PQD的面积;
(4)探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系,请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程).
▼优质解答
答案和解析
(1)当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC,
当Q在AC上时,由题意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x;
∵AB=BC=CA=4,
∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴4-x=2×2x,
∴x=
;
(2)y=-
x2+
x,
如图,当0<x<2时,P在BD上,Q在AC上,过点Q作QN⊥BC于N;
∵∠C=60°,QC=2x,
∴QN=QC×sin60°=
x;
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=
BC=2,
∴DP=2-x,
∴y=
PD•QN=
(2-x)•
x=-
x2+
x;
(3)当0<x<2时,在Rt△QNC中,QC=2x,∠C=60°;
∴NC=x,
∴BP=NC,
∵BD=CD,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴AD∥QN,
∴OP=OQ,
∴S△PDO=S△DQO,
∴AD平分△PQD的面积;
(4)显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离,
由(1)可知,当x=
当Q在AC上时,由题意得,BP=x,CQ=2x,PC=4-x;
∵AB=BC=CA=4,
∴∠C=60°;
若PQ⊥AC,则有∠QPC=30°,
∴PC=2CQ,
∴4-x=2×2x,
∴x=
4 |
5 |
(2)y=-
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2 |
3 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f3d3572c11dfa9ec0bc4c6a661d0f703908fc19d.jpg)
∵∠C=60°,QC=2x,
∴QN=QC×sin60°=
3 |
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=
1 |
2 |
∴DP=2-x,
∴y=
1 |
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1 |
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(3)当0<x<2时,在Rt△QNC中,QC=2x,∠C=60°;
∴NC=x,
∴BP=NC,
∵BD=CD,
∴DP=DN;
∵AD⊥BC,QN⊥BC,
∴AD∥QN,
∴OP=OQ,
∴S△PDO=S△DQO,
∴AD平分△PQD的面积;
(4)显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离,
由(1)可知,当x=
作业帮用户
2017-09-27
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