有一带活塞的气缸，如图1所示．缸内盛有一定质量的气体．缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是绝热的，它们的热

Question

有一带活塞的气缸，如图1所示．缸内盛有一定质量的气体．缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是绝热的，它们的热容量都不计．轴穿过气缸处不漏气．如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过程中，由实验测得，气体的压强P和体积V遵从以下的过程方程式  pV^a=k
其中a，k均为常量，a＞1（其值已知）．可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为
W=(k)/(a−1)[(1)/(V2a−1)-(1)/(V1a−1)]
式中V₂和V₁，分别表示末态和初态的体积．
如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度ω做匀角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量△p和经过的时间△t遵从以
下的关系式
(△p)/(△t)＝(a−1)/(V)L•ω
式中V为气体的体积，L表示气体对叶片阻力的力矩的大小．
上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识，求出图2中气体原来所处的状态A与另一已知状态B之间的内能之差（结果要用状态A、B的压强P_A、P_B和体积V_A、V_B及常量a表示）

Answer 1

由pV^a=k，a＞1…①
可知，当V增大时，p将随之减小（当V减小时，p将随之增大），在p-V图上所对应的曲线（过状态A）大致如图所示．在曲线上取体积与状态B的体积相同的状态C．
现在设想气体从状态A出发，保持叶片不动，而令活塞缓慢地向右移动，使气体膨胀，由状态A到达状态C，在此过程中，外界对气体做功
 W=(k)/(a−1)（(1)/(Va−1C)-(1)/(Va−1A)）…②
用U_A、U_C分别表示气体处于状态A、C时的内能，因为是绝热过程，所以内能的增量等于外界对气体做的功，即
 U_C-U_A=(k)/(a−1)（(1)/(Va−1C)-(1)/(Va−1A)）…③
再设想气体处于状态C时，保持其体积不变，即保持活塞不动，令叶片以角速度ω做匀速转动，这样叶片就要克服气体阻力而做功，因为缸壁及活塞都是绝热的，题设缸内其它物体热容量不计，活塞又不动（即活塞不做功），所以此功完全用来增加气体的内能．因为气体体积不变，所以它的温度和压强都会升高，最后令它到达状态B．在这过程中叶片转动的时间用△t表示，则在气体的状态从C到B的过程中，叶片克服气体阻力做功，
  W′=Lω△t…④
令U_B表示气体处于状态B时的内能，由热力学第一定律得：
   U_B-U_C=Lω△t…⑤
由题知
  (△p)/(△t)=(a−1)/(V)L•ω…⑥
由④⑤⑥式得：
 U_B-U_C=(VB)/(a−1)（p_B-p_C）…⑦
⑦式加③式，得：
  U_B-U_A=(VB)/(a−1)（p_B-p_C）+(k)/(a−1)（(1)/(Va−1C)-(1)/(Va−1A)）…⑧
利用 pV^a=k和V_C=V_B得：
  U_B-U_A=(1)/(a−1)（p_BV_B-p_AV_A）…⑨
答：图2中气体原来所处的状态A与另一已知状态B之间的内能之差为(1)/(a−1)（p_BV_B-p_AV_A）．