函数f（x）在[a，b]上连续是可导的（）条件．A．充分非必要B．必要不充分C．充分必要D．无关

Question

函数f（x）在[a，b]上连续是可导的（　　）条件．

A．充分非必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．无关

Answer 1

如果函数f（x）在[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上连续．
对于任意x₀∈[a，b]，因为f（x）在x=x₀处可导，故
f′(x0)＝

lim

x→x0

(f(x)−f(x0))/(x−x0)存在，
从而

lim

x→x0

(f(x)−f(x0))=

lim

x→x0

(f(x)−f(x0))/(x−x0)•

lim

x→x0

(x−x0)=f′（x₀）•0=0，
即：

lim

x→x0

f(x)=f（x₀），
从而f（x）在x=x₀处连续．
由x₀的任意性可得，f（x）在[a，b]上连续．
但是，如果f（x）在[a，b]上连续，并不能保证f（x）在[a，b]上可导．
例如：f（x）=|x|在[-1，1]上连续，但是f（x）在x=0处不可导．
综上，函数f（x）在[a，b]上连续是可导的必要不充分条件．
故选：B．