设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件

Question

设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（　　）

A. 充分必要条件

B. 充分条件但非必要条件

C. 必要条件但非充分条件

D. 既非充分条件又非必要条件

Answer 1

∵f（0）=0，
∴

lim

x→0

(F(x)-F(0))/(x)
=

lim

x→0

(f(x)(1+|sinx|))/(x)
=

lim

x→0

(f(x))/(x)=f′（0），
故F（x）在x=0处可导；
若F（x）在x=0处可导，
当x在0的左侧附近时，
F（x）=f（x）（1-sinx），
F′（x）=f′（x）（1-sinx）-f（x）cosx，
当x在0的右侧附近时，
F（x）=f（x）（1+sinx），
F′（x）=f′（x）（1+sinx）+f（x）cosx，
故

lim

x→0-

(F(x)-F(0))/(x)=f′（0）-f（0），

lim

x→0+

(F(x)-F(0))/(x)=f′（0）+f（0），
∴f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0），
∴f（0）=0；
故选：A．