limx→0（xsin1/x）/x2为什么不存在?原题：未必任意两个无穷小量都可以进行比较,例如：x→0时,xsin1/x与x2既非同阶,有无高低阶可比较,因为limx→0（xsin1/x）/x2不存在!为什么不存在呢?

Question

lim x→0（ xsin1/x）/x2 为什么不存在?
原题：
未必任意两个无穷小量都可以进行比较,例如：x→0时,xsin1/x与x2既非同阶,有无高低阶可比较,因为lim x→0（ xsin1/x）/x2不存在!为什么不存在呢?

Answer 1

情况一：当x=1/π * k 时lim k→∞则lim x→0.（K为整数） 此时
（ xsin1/x）/x2=（ sin1/x）/x=（ sinπ * k）* π * k=0*∞=0
情况二：当x=1/π * （k +0.5）时,lim k→∞则lim x→0.（K为整数） 此时
（ xsin1/x）/x2=（ sin1/x）/x=（ sinπ * （k+0.5））* π * （k+0.5）=±∞
综上可以看出x取值不同时,此极限有不同值
根据极限值的唯一性条件,可以判断此极限不存在