应用凹性证明不等式e的二分之a加b次方小于等于二分之一(e的a次方加e的b次方)

Question

应用凹性证明不等式e的二分之a加b次方小于等于二分之一(e的a次方加e的b次方)

Answer 1

构造函数f(t)＝e^t,则
f'(t)＝e^t>0,f"(t)＝e^t>0.
故f(t)为下凸函数,
依Jensen不等式得
f(a)+f(b)≥2f[(a+b)/2]
∴e^a+e^b≥2e^[(a+b)/2]
即e^[(a+b)/2]≤(1/2)·(e^a+e^b).