某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：足球跳水柔道1064（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；

Question

某中学已选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：

足球	跳水	柔道
10	6	4

（Ⅰ）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；
（Ⅱ）从观看比赛的学生中任选3人，求他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率；
（Ⅲ）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数ξ为，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A． （1分）
则P(A)＝(C210+C26+C24)/(C220)=(33)/(95)．（3分）
答：从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛的概率是(33)/(95)．
（Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B． （4分）
则P(B)＝(C310)/(C320)＝(2)/(19)，所以P(

.

B

) ＝1−P(B)＝(17)/(19)．（7分）
答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是(17)/(19)．
解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． （4分）
则P（C）=(C110•C210+C210•C110+C310)/(C320)=(17)/(19)．（7分）
答：从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率是(17)/(19)
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．（8分）
由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为(1)/(3) （9分）
所以P（ξ=0）=

C

0 4

((1)/(3))0((4)/(3))4＝(16)/(81)； P（ξ=1）=

c

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问题解析

（Ⅰ）设从观看比赛的学生中任选2人，他们恰好观看的是同一场比赛为事件A．由组合数公式能求出他们恰好观看的是同一场比赛的概率．
（Ⅱ）解法1：设所选的3名学生均没有观看足球比赛为事件B．先求出B的概率，再由对立事件的概率求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
解法2：设从观看比赛的学生中任选3人，他们中至少有1人观看的是足球比赛为事件C． 由组合数公式求出他们中至少有1人观看的是足球比赛的概率．
（Ⅲ）解法1：ξ可能取的值为0，1，2，3，4．由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为(1)/(3) 所以P（ξ=0）=

C

0 4

((1)/(3))0((4)/(3))4＝(16)/(81)； P（ξ=1）=

c

1 4

((1)/(3))((2)/(3))3＝(32)/(81)；p（ξ=2）=

c

2 4

((1)/(3))2((2)/(3))  2＝(24)/(81)＝(8)/(27)； p（ξ=3）=

c

3 4

((1)/(3))3((2)/(3)) ＝(8)/(81)；p（ξ=4）=

c

4 4

((1)/(3))4((2)/(3))0=(1)/(81)．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．
解法2：由题意可知，每位教师观看足球比赛的概率均为(1)/(3)．随机变量ξ～B（4，(1)/(3)）．由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．

名师点评

本题考点：

离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．

考点点评：

本题考查离散型随机变量的数学期和方差，解题时要认真审题，注意组合数公式的合理运用．

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