如图,已知正方形ABCD,G为对角线CA延长线上一点,GF⊥GD.（1）求证：GF＝GD；（2）延长FG交BA的延长线于E点,EM平分∠BEF,交GD于H点,BF于M点.求证：AE－CM＝2GH.（主要是第二问不会,感谢!）

Question

如图,已知正方形ABCD,G为对角线CA延长线上一点, GF⊥GD. （1）求证：GF＝GD；
（2）延长FG交BA的延长线于E点,EM平分∠BEF,
交GD于H点,BF于M点.求证：AE－CM＝2GH.（主要是第二问不会,感谢!）

Answer 1

你怎么就漏了说F在CB上呢?

第二问思路如下：

证明EG = DG

相似、角平分线理证明GH = MF

全等证明CF=AE

∵∠EGD = 90°

∴EGAD四点共圆

∴∠DEG = ∠DAC = 45°,

∴EG = GD = GF = EF/2

∵∠GEH = ∠BEM,∠EGH = ∠EBM = 90°

∴△EGH∽△EBM

∴GH/BM = EG/EB

又∵ME平分∠BEF

∴EG/EB = 1/2 * EF/EB = 1/2 * FM/BM

结合前面我们有

GH/BM = 1/2 * FM/BM

∴GH = 1/2*FM

原来的命题即AE = CM+2GH = CM + FM = CF

∵DCFG四点共圆

∴∠CDF = ∠CGF = （EDAG四点共圆） = ∠EDA

又∵DA = DC

∴△DEA ≌△DFC

∴EA = CF即为所证