某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：P＝x26，(1≤x＜4)x+3x−2512，(x≥4

Question

某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：P＝

(x2)/(6)，(1≤x＜4)

x+(3)/(x)−(25)/(12)，(x≥4)

已知每生产l万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产l万件次品将亏损1万元．（利润=盈利一亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

Answer 1

（1）当1≤x＜4时，合格的元件数为x−(x2)/(6)，…（1分）
利润T＝2(x−(x2)/(6))−(x2)/(6)＝2x−(x2)/(2)；                           …（3分）
当x≥4时，合格的元件数为x−(x+(3)/(x)−(25)/(12))＝−(3)/(x)+(25)/(12)，…（4分）
利润T＝2(−(3)/(x)+(25)/(12))−(x+(3)/(x)−(25)/(12))＝−x−(9)/(x)+(25)/(4)，…（6分）
综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润T＝

2x−(x2)/(2)，1≤x＜4

−x−(9)/(x)+(25)/(4)，x≥4

…（7分）
（2）当1≤x＜4时，T＝2x−(x2)/(2)，对称轴x=2，此时利润T的最大值T_max=T（2）=2．…（9分）
当x≥4时，T′＝−1+(9)/(x2)＝(9−x2)/(x2)＝((3+x)(3−x))/(x2)＜0，…（10分）
所以T＝−x−(9)/(x)+(25)/(4)在[4，+∞）上是减函数，…