据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一．根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速

Question

据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一．根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题．
(1)假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？(精确到0.01，参考数据：)
(2)如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有表示2003年底该市堆积的垃圾数量，表示2004年底该市堆积的垃圾数量…表示2002+n年底该城市堆积的垃圾数量，①求；②试归纳出的表达式(不用证明)；③计算，并说明其实际意义．____

Answer 1

【分析】(1)要求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨，我们可以设1993年该城市产生的新垃圾约有X万吨，然后由1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，构造关于X的方程，解方程，即可得到结果．
(2)由2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b₁表示2003年底该市堆积的垃圾数量，我们易代入得到b_n=50×()ⁿ+3×()^n-1+3×()^n-2++3×+3，然后利用极限思想，求出b_n的值．

(1)设1993年该城市产生的新垃圾为x万吨．
依题意，得
10+x+1.08x+1.08²x++1.08⁹x=50，
∴•x=40．
∴x=×40≈2.76万吨．
∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨．
(2)①b₁=50×80%+3=43(万吨)．
②∵b₁=50×80%+3=50×+3，
b₂=b₁+3=50×()²+3×+3，
b₃=b₂+3=50×()³+3×()²+3×+3，
∴可归纳出b_n=50×()ⁿ+3×()^n-1+3×()^n-2+······+3×+3
=50×()ⁿ+3×=50×()ⁿ+15[1-()ⁿ]=35×()ⁿ+15．
③b_n=[35×()ⁿ+15]=15．
这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨．

【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．