lim（1/sin²cos²x/x²）当x趋向于0,怎么用无穷小等价代换和洛比达lim（1/sin²-cos²x/x²）题目这个

Question

lim（1/sin²cos²x/x²）
当x趋向于0,怎么用无穷小等价代换和洛比达
lim（1/sin²-cos²x/x²）题目这个

Answer 1

lim(x趋于0)1/sin²x -cos²x/x²
=lim(x趋于0) (x²-sin²xcos²x) / (sin²x *x²) 将分母的sinx等价代换为x
=lim(x趋于0) [x²-(2sinxcosx)²/4] / x^4
=lim(x趋于0) (4x²-sin²2x) / 4x^4
=lim(x趋于0) (2x-sin2x)/ 2x^3 *(2x+sin2x) /2x
=lim(x趋于0) (2x-sin2x)/ 2x^3 * (1+sin2x /2x) 显然sin2x /2x趋于1
=lim(x趋于0) (2x-sin2x)/ x^3 使用洛必达法则
=lim(x趋于0) 2(1-cos2x)/ 3x² 1-cos2x等价于0.5 *(2x)²即2x²
=lim(x趋于0) 2 *2x²/ 3x²
= 4/3
故极限值为4/3