若函数f(x)关于点（a,0)和点（b,0)对称,则函数f(x)必为周期函数2a-b是它的一个周期.证明时f（x+a）=-f（a-x）为什么

Question

若函数f(x)关于点（a,0)和点（b,0)对称,则函数f(x)必为周期函数2【a-b】是它的一个周期.证明时f（x+a）=-f（a-x） 为什么

Answer 1

由于函数f(x)关于点（a,0)对称,则由图象可知
则a+x与a-x离点（a,0)等距离,根据对称性
f(x)图象上两点（a+x,f(x+a))、(a-x,f(a-x))关于点（a,0)对称,
则两点纵坐标应当相反：f(x+a）=-f（a-x）.
同理函数f(x)关于点（b,0)对称,f（x+b）=-f（b-x）.
f(x+2a-2b)=f(a+(x+a-2b))=-f(a-(x+a-2b))=-f(-x+2b)
=-f(b+(b-x))=-[-f(b-(b-x))]=f(x)
f(x)必为周期函数2【a-b】是它的一个周期.