（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=45，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函

Question

（2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=(4)/(5)，反比例函数y=(k)/(x)（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=(4)/(5)，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=(k)/(6)，可得：k=48，
∴反比例函数解析式：y=(48)/(x)（x＞0）；

（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=(4)/(5)，
∴AH=(4)/(5)a，OH=(3)/(5)a，
∴S_△AOH=(1)/(2)•(4)/(5)a•(3)/(5)a=(6)/(25)a²，
∵S_△AOF=12，
∴S_{平行四边形AOBC}=24，
∵F为BC的中点，
∴S_△OBF=6，
∵BF=(1)/(2)a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=(2)/(5)a，BM=(3)/(10)a，
∴S_△BMF=(1)/(2)BM•FM=(1)/(2)•(2)/(5)a•(3)/(10)a=(3)/(50)a²，
∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=6+(3)/(50)a²，
∵点A，F都在y=(k)/(x)的图象上，
∴S_△AOH=(1)/(2)k，
∴(6)/(25)a²=6+(3)/(50)a²，
∴a=(10)/(3)√(3)，
∴OA=