在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=2y(x≥0)-2y(x<0)，那么称点Q为点P的“亲密点”．例如：点（5，3）的“亲密点”为点（5，6），点（-5，3）的

Question

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′=

2y(x≥0)

-2y(x<0)

，那么称点Q为点P的“亲密点”．
例如：点（5，3）的“亲密点”为点（5，6），点（-5，3）的“亲密点”为点（-5，-6）．
（1）①判断点（-1，3）的“亲密点”是否在函数y=(6)/(x)的图象上，并说明理由．
②若位于x轴上方的两点（2k，k）和（-3，k）的“亲密点”都在某反比例函数图象上，请求出该反比例函数的解析式．
（2）如果点M（m+1，4m）是一次函数y=x+3图象上点N的“亲密点”，求点N的坐标．
（3）如果点P在函数y=-x²+4（-2.5<x≤a）的图象上，其“亲密点”Q的纵坐标y′的取值范围是-8<y′≤8，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）①∵-1<0，
∴y′=-2×3=-6，
∴点（-1，3）的“亲密点”是（-1，-6）．
∵-1×（-6）=6，
∴点（-1，3）的“亲密点”在函数y=(6)/(x)的图象上．
②∵（2k，k）和（-3，k）位于x轴上方，
∴k>0，
∴2k>0．
∴点（2k，k）的“亲密点”是（2k，2k）．
∵-3<0，
∴点（-3，k）的“亲密点”是（-3，-2k）．
∵点（2k，2k）和点（-3，-2k）都在反比例函数的图象上，
∴2k•2k=-3•（-2k），整理得：4k²-6k=0，解得k=(3)/(2)或k=0（舍去）．
∴6k=6×(3)/(2)=9．
∴反比例函数的解析式为y=(9)/(x)．

（2）设点N的坐标为（x，x+3）．
当x≥0时，点M的坐标为（x，2x+6）．
∴x=m+1，2x+6=4m．
∴2x+6=4（x-1），解得：x=5．
∴点N的坐标为（5，8）．
当x<0时，点M的坐标为（x，-2x-6）．
∴x=m+1，-2x-6=4m．
∴-2x-6=4（x-1），解得x=-(1)/(3)．
∴N（-(1)/(3)，(8)/(3)）．
（3）设点P的坐标为（x，-x²+4）．
当x≥0时，Q（x，-2x²+8），即y′=-2x²+8．
∵-8<y′≤8，
∴-8<-2x²+8≤8，解得：0≤x≤2√(2)．
当x<0时，Q（x，2x²-8），即y′=2x²-8．
∵-8<y′≤8，
∴-8<2x²-8≤8，解得：-2√(2)≤x<0．
∴x的取值范围-2√(2)≤0≤2√(2)．
又∵-2.5<x≤a，
∴a=2√(2)．