如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B，M，N共线．求证：M与N分别是AC和CD的中点．

Question

如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B，M，N共线．求证：M与N分别是AC和CD的中点．

Answer 1

证明：延长DA、CB，交于点F，如图．
设S_△ABC=S，则，S_△ABD=3S，S_△BCD=4S．
∵(S△AFB)/(S△ABC)=(FB)/(BC)，(S△DFB)/(S△DBC)=(FB)/(BC)，
∴(S△AFB)/(S)=(S△AFB+3S)/(4S)，
∴S_△AFB=S，
∴S_△AFB=S_△ABC，
∴FB=BC．
过点B作DF的平行线，交AC于M′，交DC于N′，
根据平行线分线段成比例可得：AM′=CM′，DN′=N′C．
①若点M′在点M的左侧，
则(AM)/(AC)>(AM)/(AC)=(1)/(2)，(CN)/(CD)<(CN′)/(CD)=(1)/(2)，
∴(AM)/(AC)>(1)/(2)>(CN)/(CD)，
与条件“AM：AC=CN：CD”矛盾，故舍去；
②若点M′在点M的右侧，
同理可得(AM)/(AC)<(1)/(2)<(CN)/(CD)，
与条件“AM：AC=CN：CD”矛盾，故舍去；
③若点M′与点M重合，
则(AM)/(AC)=(1)/(2)=(CN)/(CD)，符合条件，
此时M、N分别是AC、DC的中点．
综上所述：M与N分别是AC和CD的中点．