七中育才学校为鼓励学生进行微电影拍摄，出台了相关规定：由学校统一给学生提供光碟刻录，学生在教育研讨会期间自主销售，刻录成本价与出厂价之间的差价由学校承担．李明按照规定

Question

七中育才学校为鼓励学生进行微电影拍摄，出台了相关规定：由学校统一给学生提供光碟刻录，学生在教育研讨会期间自主销售，刻录成本价与出厂价之间的差价由学校承担．李明按照规定拍摄了一部质量较高的微电影．已知该部微电影光盘的成本价为每盘10元，刻录商家出厂价为每盘12元，销售量y（盘）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．
（1）李明把销售单价定为20元，那么学校为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
（3）学校规定销售单价不得高于25元．如果李明想要获得的利润不低于3000元，那么学校为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

（1）当x=20时，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600元，
即学校这个月为他承担的总差价为600元．
（2）依题意得，w=（x-10）（-10x+500）
=-10x²+600x-5000
=-10（x-30）²+4000
∵a=-10<0，∴当x=30时，w有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
（3）由题意得：-10x²+600x-5000=3000，
解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=-10<0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000>w≥3000．
又∵x≤25，
∴当20≤x≤25时，w≥3000．
设学校每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）
=-20x+1000．
∵k=-20<0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，学校每个月为他承担的总差价最少为500元．