设二维随机向量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y）=8xy0，0≤x＜y＜1其它．（1）分别求X和Y的边缘密度函数；（2）判断X与Y是否独立；（3）求条件密度函数fX|Y（x|y）在y=12时的函数值．

Question

设二维随机向量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y）=

8xy

0

，

0≤x＜y＜1

其它

．
（1）分别求X和Y的边缘密度函数；
（2）判断X与Y是否独立；
（3）求条件密度函数f_X|Y（x|y）在y=(1)/(2)时的函数值．

Answer 1

（1）∵fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy=

∫

1 x

8xydy＝4x(1−x2)，0≤x＜1
fY(y)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dx=

∫

y 0

8xydx＝4y3，0＜y＜1
∴fX(x)＝

4x(1−x2)	，0≤x≤1
0	，其它

，fY(y)＝

4y3	，0≤y≤1
0	，其它

（2）由（1）知，fX(x)•fY(y)＝4x(1−x2)y3≠f（x，y），0≤x＜y＜1
∴随机变量X与Y不独立
（3）∵fX|Y(x|y)＝(f(x，y))/(fY(y))
∴fX|Y(x|y)＝(8xy)/(4y3)＝(2x)/(y2)，0≤x＜y＜1
∴在y=(1)/(2)时，f_X|Y（x|y）=8x