图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M为指针压力表，以VM表示其中可以容纳气体的容积；B为测温饱，处在待测温度的环境中，以VB表示其体积；E为贮气容器

Question

图示为低温工程中常用的一种气体、蒸气压联合温度计的原理示意图，M为指针压力表，以V_M表示其中可以容纳气体的容积；B为测温饱，处在待测温度的环境中，以V_B表示其体积；E为贮气容器，以V_E表示其体积；F为阀门．M、E、B由体积可忽略的毛细血管连接．在M、E、B均处在室温T₀=300K时充以压强P0＝5.2×105Pa的氢气．假设氢的饱和蒸气仍遵从理想气体状态方程．现考察以下各问题：
（1）关闭阀门F，使E与温度计的其他部分隔断，于是M、B构成一简易的气体温度计，用它可测量25K以上的温度，这时B中的氢气始终处在气态，M处在室温中．试导出B处的温度T和压力表显示的压强p的关系．除题中给出的室温T₀时B中氢气的压强P₀外，理论上至少还需要测量几个已知温度下的压强才能定量确定T与p之间的关系？
（2）开启阀门F，使M、E、B连通，构成一用于测量20～25K温度区间的低温的蒸气压温度计，此时压力表M测出的是液态氢的饱和蒸气压．由于饱和蒸气压与温度有灵敏的依赖关系，知道了氢的饱和蒸气压与温度的关系，通过测量氢的饱和蒸气压，就可相当准确地确定这一温区的温度．在设计温度计时，要保证当B处于温度低于T_v=25K时，B中一定要有液态氢存在，而当温度高于T_v=25K时，B中无液态氢．到达到这一目的，V_M+V_E与V_B间应满足怎样的关系？已知T_v=25K时，液态氢的饱和蒸气压P v＝3.3×105Pa．
（3）已知室温下压强P₁=1.04×10⁵Pa的氢气体积是同质量的液态氢体积的800倍，试论证蒸气压温度计中的液态气不会溢出测温泡B．

Answer 1

（1）当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n₁，当B处的温度为T时，压力表显示的压强为P，有理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为：
n_1B=(PVB)/(RT)…①
n_1M=(PVM)/(RT0)…②
式中R为普适气体衡量，因n_1B+n_1M=n₁… ③
解①②③式得：(1)/(T)=(n1R)/(VB)(1)/(P)-(VM)/(VBT0)…④
或T=(P)/((n1R)/(VB)−(VM)/(VBT0)P)…⑤
式子④表明，(1)/(T)与(1)/(P)成线性关系，式中的系数与仪器结构有关，在理论上至少要测得两个已知温度下的压强，作(1)/(T)-(1)/(P)的图线，就可求出系数．
由于题中已经给出室温T₀时的压强P₀，故至少还要测定另一已知温度下的压强，才能定量测定T与P之间的关系式．
（2）若蒸气压温度计测量上限温度T_v时有氢气液化，则当B处的温度T≤T_V时，B、M和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数．由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数n₂=(P0(VB+VM+VE))/(RT0)… ⑥
假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为：
n_2B=(PVVB)/(RTV)…⑦
在⑦式中，已经忽略了B中液态氢所占的微小体积．由于蒸汽压温度计的其它部分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为：
n_2M+n_2E=(Pv′(VM+VE))/(RT0)… ⑧
根据要求有：
n_2B+n_2M+n_2E≤n₂… ⑨
解⑥⑦⑧⑨式子得：V_M+V_E≥(PVT0−P0TV)/((P0−PV)TV)…（10）
代入有关数据得：V_M+V_E≥18V_B 
答：（1）理论上至少还需要测量一个已知温度下的压强才能定量确定T与p之间的关系；
（2）V_M+V_E与V_B间应满足：V_M+V_E≥18V_B．