已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求该椭圆的标准方程和离心率．

Question

已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求该椭圆的标准方程和离心率．

Answer 1

∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b=8，得b=4，
又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，
∴cos30°=(8)/(2a)，得a=(8√(3))/(3)．
以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则椭圆方程为：(x2)/((64)/(3))+(y2)/(16)=1．
c2=a2-b2=(64)/(3)-16=(16)/(3)，∴c=(4√(3))/(3)．
∴椭圆的离心率为：e=(c)/(a)=((4√(3))/(3))/((8√(3))/(3))=(1)/(2)．