在数列an中，，其中n∈N*．（1）求证：数列bn为等差数列；（2）设，试问数列cn中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．（3）已知当n∈N*

Question

在数列a_n中，，其中n∈N^*．
（1）求证：数列b_n为等差数列；
（2）设，试问数列c_n中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
（3）已知当n∈N^*且n≥6时，，其中m=1，2，…n，求满足等式的所有n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等差数列的性质，bn+1-bn为一个常数即可；（2）设，试问数列cn中是否存在三项，它们可以构成等差数列，然后根据等差数列的性质，进行验证；（3）已知当n∈N*且n≥6时，，其中m=1，2，…n，等式进行化简可化为3n+4n++（n+2）n=（n+3）n，然后进行放缩求解；（1）∵∴数列bn为等差数列4；（2）假设数列cn中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第p，r，q（p＜r＜q）项，由（1）得bn=n，∴cn=2n，∴2•2r=2p+2q，∴2r+1-p=1+2q-p又2r+1-p为偶数，1+2q-p为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．（3）由（2）得等式可化为3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）n即∴∵当n≥6时，，∴，，，∴∴当n≥6时，3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n当n=1，2，3，4，5时，经验算n=2，3时等号成立∴满足等式的所有n=2，3；点评：此题考等差数列的性质，前两问比较简单，第三问难度比较大，放缩时技巧性比较强，不等式与数列的综合题是高考的热点问题，也是压轴题；