求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件．

Question

求ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件．

Answer 1

证明：至少有一负根⇔方程有一正根和一负根或有两负根
⇔

△＝4−4a＞0

x1x2＝(1)/(a)＜0

⇒a＜0
，等价于

△＝4−4a≥0

−(2)/(a)＜0

(1)/(a)＞0

    ⇒0＜a≤1
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1
充分性：由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根．故a＜0或0＜a≤1是方程ax²+2x+1=0至少有一负根的充分条件答案：a＜0或0＜a≤1