已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．（1）当a=13，c=2时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若以二次函数的图

Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=(1)/(3)，c=2时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且ac＝(1)/(2)，求a的值；
（3）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2m+1对所有x∈[0，c]恒成立，求正实数m的最小值．

Answer 1

（1）当a＝(1)/(3)，c=2时，f(x)＝(1)/(3)x2+bx+2，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
因为f（2）=0，
设另一个根为x₁，则2x₁=6，x₁=3．（2分）
则f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}．（4分）
（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，因f（c）=0，
设另一个根为x₂，则cx2＝(c)/(a)，于是x2＝(1)/(a)．（6分）
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则(1)/(a)＞c，
则三交点为(c，  0)，  ((1)/(a)，  0)，  (0，  c)，（8分）
这三交点为顶点的三角形的面积为S＝(1)/(2)((1)/(a)−c)c＝8，且ac＝(1)/(2)，
解得a＝(1)/(8)，  c＝4．（10分）
（3）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则(1)/(a)＞c，
所以f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2m+1，对所有x∈[0，c]恒成立，
必须f(x)max＝1≤m2−2m+1成立，所有m²-2m+1≥1，即m²-2m≥0，
解得m≥2或m≤0，而m＞0，
所以m的最小值为2．（16分）