请认真阅读下列程序框图：已知程序框图xi=f（xi-1）中的函数关系式为f(x)=4x-2x+1，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数xi组成一个数列{xn}．

Question

请认真阅读下列程序框图：
已知程序框图x _i =f（x _i -1）中的函数关系式为 f(x)=(4x-2)/(x+1) ，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数x _i 组成一个数列{x _n }．
（1）若输入 x 0 =(49)/(65) ，请写出数列{x _n }的所有项；
（2）若输出的无穷数列{x _n }是一个常数列，试求输入的初始值x ₀ 的值；
（3）若输入一个正数x ₀ 时，产生的数列{x _n }满足：任意一项x _n ，都有x _n ＜x _n+1 ，试求正数x ₀ 的取值范围．

Answer 1

（1）当 x 0 =(49)/(65) 时，因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴ x 1 =f( x 0 )=(4 x0 -2)/(x0 +1) ═(4×(49)/(65)-2)/((49)/(65)x+1) =(11)/(19) ，
x 2 =f( x 1 )=(4 x2 -2)/(x2 +1) ═(4×(11)/(19)-2)/((11)/(19)x+1) =(1)/(5) ，
x 3 =f( x 2 )=(4 x2 -2)/(x2 +1) ═(4×(1)/(5)-2)/((1)/(5)x+1) =-1 ∉D，
所以数列{x _n }只有三项 x 1 =(11)/(19) ， x 2 =(1)/(5) ， x 3 =-1 ．
（2）数列{x _n }是一个常数列，则有x ₁ =x ₂ =…=x _n =x ₀ 即   x 0 =f( x 0 )=(4 x0 -2)/(x0 -1) ，解得：x ₀ =1或x ₀ =2，
所以输入的初始值x ₀ 为1或2时输出的为常数列．
（3）由题意知  x n+1 =f( x n )=(4 xn -2)/(xn +1) ＞ x n ，因x ₀ ＞0，
∴x _n ＞0，有： (4 xn -2)/(xn +1) ＞ x n 得4x _n -2＞x _n （x _n +1）即x _n ² -3x _n +2＜0，即（x _n -2）（x _n -1）＜0
要使任意一项x _n ，都有x _n+1 ＞x _n ，须（x ₀ -2）（x ₀ -1）＜0，解得：1＜x ₀ ＜2，
所以当正数x ₀ 在（1，2）内取值时，所输出的数列{x _n }对任意正整数n满足x _n ＜x _n+1 ．