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已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,其图像顶点为D.(3)若点P是此二次函数图像上的点,且∠PAB=∠ACB,试求点P的坐标

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已知二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,其
图像顶点为D. (3)若点P是此二次函数图像上的点,且∠PAB=∠ACB,试求点P的坐标
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答案和解析
二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),有:1*3=3/a,a=1,1+3= -b/a,b=-4;故:(1)此二次函数的解析式y=x²-4x+3;x=0时y=3,交y轴于点C,故C(0,3);y=x²-4x+3=(x-2)²-1,其图像顶点为D(2,-1);(2)△ABD与△BCO相似证明:OC=OB=3,故△BCO等腰直角三角形; 由A(1,0)、B(3,0)、D(2,-1)可求出AD=BD=√2,和AD²+BD²=AB²,故△ABD等腰直角三角形;所以:)△ABD与△BCO相似.(3)tan∠ACB =tan(∠OCB - ∠ACO) =(tan∠OCB - tan∠ACO)/(1 + tan∠OCB tan∠ACO) =(1 - 1/3)/(1 + 1*1/3 ) = 1/2令过A(1,0)的直线为y=k(x-1),因∠PAB=∠ACB,故k=±tan∠ACB=±1/2 故:y=±(x-1)/2,分别与y=x²-4x+3联立方程组得:x=1、x=7/2、x=5/2;对应y=0、y=5/4、y= -3/4、因A(1,0),所以:P(7/2,5/4)或P(5/2,-3/4).更上一层楼!