某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币．经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这

Question

某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币．经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？

Answer 1

（Ⅰ）由6S₁=2-a₁，得6a₁=1-2a₁，解得a1＝(1)/(8)．…（1分）
6S₂=1-2a₂，得6（a₁+a₂）=1-2a₂，解得a₂=(1)/(32)．…（3分）
（Ⅱ）由6S_n=1-2a_n，…①，
当n≥2时，有6S_n-1=1-2a_n-1，…②，…（4分）
①-②得：(an)/(an−1)=(1)/(4)，…（5分）
∴数列{a_n}是首项a1＝(1)/(8)，公比q=(1)/(4)的等比数列，…（6分）
∴an＝(1)/(8)•((1)/(4))n−1=(1)/(2)•((1)/(4))n=((1)/(2))2n+1．…（7分）
∵b_n=log(1)/(2)a_n，∴bn＝log(1)/(2)((1)/(2))2n+1=2n+1．…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有：
c_n=(n+1)/((n+2)2(bn−1)2)=(n+1)/((n+2)2(2n)2)=(1)/(1+16)[(1)/(n2)−(1)/((n+2)2)]．…（10分）
∴T_n=(1)/(16)[1−(1)/(32)+(1)/(22)−(1)/(42)+(1)/(32)−(1)/(52)+…+(1)/((n−1)2)−(1)/((n+1)2)+(1)/(n2)−(1)/((n+2)2)]（12分）
=(1)/(16)[1+(1)/(22)−(1)/((n+1)2)−(1)/((n+2)2)]…（13分）
＜(1)/(16)(1+(1)/(22))＝(5)/(64)．
∴对于任意的n∈N^*，都有T_n＜(5)/(64)．…（14分）