已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>o)经过点A(2,1),离心率为√2/2,过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N（1）求椭圆C的方程（2）求BM的拔乘以BN的拔的取值范围（3）设直线AM和AN的斜率分别是kAB和KAN

Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>o)经过点A(2,1),离心率为√2/2,过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N
（1）求椭圆C的方程
（2）求BM的拔乘以BN的拔的取值范围
（3）设直线AM和AN的斜率分别是kAB和KAN,求证KAM+kAN为定值

Answer 1

离心率为√2/2即a^2=2c^2;所以：b^2=a^2-c^2=2c^2-C^2=C^2
椭圆C:x2/a2+y2/b2=1（a>b>o)经过点A(2,1),那么4/2c^2+1/c^2=1;解得：c^2=3
所以：a^2=6,b^2=3椭圆为：x^2/6+y^2/3=1
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2);因为点B(3,0在椭圆外,所以直线l的斜率一定存在；
设直线l 的方程为：y=k(x-3)代入椭圆方程中得：（1+2k^2)x^2-12k^2x+18k^2-6=0
由判别式>0得：-1