如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜12

Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是______（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜(1)/(2)时，S为四边形；
②当CQ=(1)/(2)时，S不为等腰梯形；
③当CQ=(3)/(4)时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=(1)/(3)；
④当(3)/(4)＜CQ＜1时，S为六边形；
⑤当CQ=1时，S的面积为(√(6))/(2)．

Answer 1

如图
当CQ=(1)/(2)时，即Q为CC₁中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=√(1+(1)/(4))=(√(5))/(2)，
故可得截面APQD₁为等腰梯形，故②不正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜(1)/(2)，只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=(3)/(4)时，如图，
延长DD₁至N，使D₁N=(1)/(2)，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=(1)/(3)，故正确；
④由③可知当(3)/(4)＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连接AF，可证PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面为APC₁F为菱形，故其面积为(1)/(2)AC₁•PF=(1)/(2)•√(3)•√(2)＝(√(6))/(2)，故正确．
故答案为：①③⑤