在抛物线y^2=4ax(a>0)的顶点,引两互相垂直的两条弦OA,OB,求顶点O在AB上射影H的轨迹方程这类题目怎么用参数方程的知识来解答?

Question

在抛物线y^2=4ax(a>0)的顶点,引两互相垂直的两条弦OA,OB,求顶点O在AB上射影H的轨迹方程
这类题目怎么用参数方程的知识来解答?

Answer 1

OA⊥OB 设直线OA:y=kx,直线OB:y=-x/k 解下方程组:y=kx,y^2=4ax,得A(4a/K^2,4a/K) 同理,解下方程组:y=-x/k,y^2=4ax,得B(4aK^2,-4aK) 直线AB的斜率：kAB=K/(1-K^2) OH⊥AB,kOH=-(1-K^2)/K 设H(X,Y) ,则 Y/X=-(1-K^2)/K,-X/Y=K/(1-K^2),K^2=(X+YK)/X,直线AB：Y+4aK=[K/（1-K^2) ]*(X-4aK^2) Y+4aK=(-X/Y)*(X-4aK^2),Y^2+4aKY=4aXK^2- X^2,X^2+Y^2+4aKY=4aXK^2,将K^2=(X+YK)/X代入得：X^2+Y^2+4aKY=4aX+4aKY,X^2+Y^2-4aX=0,(X-2a)^2+Y^2=(2a)^2 点H的轨迹方程为一个圆(去掉原点).