已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c＝23，1tanA+1tanC＝53．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）求△ABC的面积．

Question

已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c＝√(23)，(1)/(tanA)+(1)/(tanC)＝(5)/(3)．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）由(1)/(tanA)+(1)/(tanC)=(cosA)/(sinA)+(cosC)/(sinC)=(sin(A+C))/(sinAsinC)=(5)/(3)，
∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴由正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴(sin(A+C))/(sinAsinC)=(sinB)/(sin2B)=(1)/(sinB)=(5)/(3)，即sinB=(3)/(5)，
由b²=ac知，b不是最大边，
则cosB=√(1−sin2B)=(4)/(5)；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB及b²=ac得：ac=a²+c²-2ac•(4)/(5)=（a+c）²-(18)/(5)ac，
解得：ac=5，
则S_△ABC=(1)/(2)acsinB=(3)/(2)．