△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=sinA+sinBcosA+cosB．（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；（2）判断sinA+sinB取最大值时，△ABC的形状．

Question

△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)．
（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（2）判断sinA+sinB取最大值时，△ABC的形状．

Answer 1

（1）因为tanC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)，所以左边切化弦对角相乘得到 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
所以sin（C-A）=sin（B-C），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立），即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°．
又因为sin（B-A）=cosC=(1)/(2)，所以B-A=30°或B-A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．
（2）由条件可得A+B=120°，sinA+sinB=sinA+sin（120°-A）=(1)/(2)sinA+(√(3))/(2)cosA=sin（60°+A）．
∵0＜A＜120°，
∴60°＜60°+A＜180°，
∴sin（60°+A）∈（0，1]，
故sinA+sinB∈（0，1]，
当sinA+sinB取最大值时，A=30°，B=90°，三角形是直角三角形．