根据函数单调性的定义，判断f(x)＝axx2+1（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．

Question

根据函数单调性的定义，判断f(x)＝(ax)/(x2+1)（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．

Answer 1

在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，（2分）
则f(x1)−f(x2)＝(ax1)/(x21+1)−(ax2)/(x22+1)＝a((x1−x2)(1−x1x2))/((x21+1)(x22+1))（6分）
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，且1-x₁x₂＜0．（8分）
（1）当a＞0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f(x)＝(ax)/(x2+1)是[1，+∞）上的减函数；（10分）
（2）当a＜0时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f(x)＝(ax)/(x2+1)是[1，+∞）上的增函数；（12分）