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证明函数的单调性f(x)=x³+x
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证明函数的单调性
f(x)=x³+x
f(x)=x³+x
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答案和解析
这是两个【增函数】之和的函数,是增函数.
中学的证法,单调函数的定义.可以设实数集内的任意两个变量x′与x″,且x′＜x″,
f(x′﹚－f﹙x″﹚＝x′³＋x′－x″³－x″＝﹙x′－x″﹚＋﹙x′³－x″³﹚
＝﹙x′－x″﹚＋﹙x′－x″﹚﹙x′²＋x′x″＋x″²﹚＝﹙x′－x″﹚﹙1＋x′²＋x′x″＋x″²﹚,
∵第一个因式为负值；第二个因式中,是四个正数的和.
∴两个函数值的差为负.∴f﹙x′﹚＜f﹙x″﹚,∴f﹙x﹚为增函数.
中学的证法,单调函数的定义.可以设实数集内的任意两个变量x′与x″,且x′＜x″,
f(x′﹚－f﹙x″﹚＝x′³＋x′－x″³－x″＝﹙x′－x″﹚＋﹙x′³－x″³﹚
＝﹙x′－x″﹚＋﹙x′－x″﹚﹙x′²＋x′x″＋x″²﹚＝﹙x′－x″﹚﹙1＋x′²＋x′x″＋x″²﹚,
∵第一个因式为负值；第二个因式中,是四个正数的和.
∴两个函数值的差为负.∴f﹙x′﹚＜f﹙x″﹚,∴f﹙x﹚为增函数.
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