已知一个集合的导集为可数集,证明该集合之多可数.

Question

已知一个集合的导集为可数集,证明该集合之多可数.

Answer 1

设E是Rⁿ的子集,其导集E'为可数集.
考虑差集E\E'(即在E中而不在E'中的元素全体).
对任意x∈E\E',存在x的开邻域B(x,δ(x)),使其中没有其它E中的点(否则x∈E',矛盾).
于是对任意x,y∈E\E',x ≠ y,有|x-y| > δ(x),|x-y| > δ(y),|x-y| > (δ(x)+δ(y))/2.
得B(x,δ(x)/2)∩B(y,δ(y)/2) = ∅,即x取遍E\E'时,所得到的B(x,δ(x)/2)两两不交.
可知它们包含互不相同的有理点(Rⁿ中各坐标均为有理数的点).
又Rⁿ中的有理点是可数的,故只有至多可数个B(x,δ(x)/2),也即E\E'至多可数.
而已知E∩E' ⊆ E'为可数集,故E = (E\E')∪(E∩E')也至多可数.