求函数y=a/x+x/4a+2(a>0,x∈[1,3]的值域不要用导数等高级方法

Question

求函数y=a/x+x/4a+2(a>0,x∈[1,3]的值域
不要用导数等高级方法

Answer 1

y = a/x + x/(4a) + 2 (a>0,x∈[1,3]
x＞0
y = [√a/√x - √x/(2√a)]² + 4
当√a/√x = √x/(2√a),即x=2a时,为图像顶点（极小值）
x∈（0,2a)时,单调减；x∈（2a,+∞）时单调增
当0＜2a≤1,即0＜a≤1/2时,区间在图像顶点右侧（单调增）：
最小值f(1)=a+1/(4a)+2 = (4a²+8a+1)/(4a)
最大值f(3)=a/3+3/(4a)+2=(4a²+24a+9)/(12a)
值域【(4a²+8a+1)/(4a),(4a²+24a+9)/(12a)】
当2a≥3时,即a≥3/2时,区间在图像顶点左侧（单调减）：
最大值f(1) = (4a²+8a+1)/(4a)
最小值f(3) = (4a²+24a+9)/(12a)
值域【(4a²+24a+9)/(12a),(4a²+8a+1)/(4a)】
当1＜2a＜3,即1/2＜a＜3/2时,图像顶点在区间内部：
最小值=极值=4
最大值需要比较f(1)与f(3)的大小
f(3)-f(1)=(4a²+24a+9)/(12a)- (4a²+8a+1)/(4a)
= [ (4a²+24a+9)- (12a²+24a+3) ] /(4a)
= (-12a²+6)/(4a)
= (√2/2+a)(√2/2-a)/(8a)
当1/2＜a≤√2/2时,f(3)＞f(1),最大值为f(3)
值域【4,(4a²+24a+9)/(12a)】
当√2/2＜a＜3/2时,f(3)＜f(1),最大值为f(1)
值域【4,(4a²+8a+1)/(4a)】