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函数定义域和值域的求法?
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函数定义域和值域的求法?
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答案和解析
求函数的值域是高中数学的难点,它没有固定的方法和模式,常用的方法有:
(1)直接法——从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围.
(2)配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(X)=af²(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.
(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域.形如y=(cx+d)/(ax+b)
(a ≠0)的函数的值域,均可使用反函数法.此外,这种类形的函数值域也可使用“分离常数法”求解.
(4)判别式法——把函数转化成关于二次方程F(x,y)=0,通过方程有实数根,判别式△≥0,从而求得原函数的值域,形如
y=(a1x²+b1x+c1)/(a2x²+b2x+c2) (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解.
注意事项:① 函数的定义域应为R;②分子、分母没有公因式.
(5)换元法——运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如y=ax+b± √(cx+d) (a、b、c、d均为常数,且a ≠0)的函数常用此法求解.
(6)不等式法——利用基本不等式:a+b≥2√ab(a、b ∈R+(正实数))求函数的值域,用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件“一正,二定,三相等”.
(7)单调性法——确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域.形如y=(x²+5)/(√(x²+4))的函数的值域均可使用此法求解.
(8)求导法——当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值.
(9)数形结合法——当一个函数图像可作时,通过图像可求其值域和最值:或利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数的值域.
求函数的定义域
①分式的分母不能为零.
②偶次方根的被开方数非负,零次幂的底数不能为零.
③对数函数的真数大于零.
④对数函数指数函数的底数大于零且不等于1.
注意定义域用集合表示.
求函数的定义域必须尊重原题(不能化简).
(1)直接法——从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围.
(2)配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(X)=af²(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.
(3)反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域.形如y=(cx+d)/(ax+b)
(a ≠0)的函数的值域,均可使用反函数法.此外,这种类形的函数值域也可使用“分离常数法”求解.
(4)判别式法——把函数转化成关于二次方程F(x,y)=0,通过方程有实数根,判别式△≥0,从而求得原函数的值域,形如
y=(a1x²+b1x+c1)/(a2x²+b2x+c2) (a1,a2不同时为0)的函数的值域常用此法求解.
注意事项:① 函数的定义域应为R;②分子、分母没有公因式.
(5)换元法——运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如y=ax+b± √(cx+d) (a、b、c、d均为常数,且a ≠0)的函数常用此法求解.
(6)不等式法——利用基本不等式:a+b≥2√ab(a、b ∈R+(正实数))求函数的值域,用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件“一正,二定,三相等”.
(7)单调性法——确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域.形如y=(x²+5)/(√(x²+4))的函数的值域均可使用此法求解.
(8)求导法——当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值.
(9)数形结合法——当一个函数图像可作时,通过图像可求其值域和最值:或利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数的值域.
求函数的定义域
①分式的分母不能为零.
②偶次方根的被开方数非负,零次幂的底数不能为零.
③对数函数的真数大于零.
④对数函数指数函数的底数大于零且不等于1.
注意定义域用集合表示.
求函数的定义域必须尊重原题(不能化简).
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